【挑戦状】問21 想定解答.

三角関数のとんち?問題です。


実は不手際で自明な解があります。
以下に解答を書きます。



















想定解答.
 \displaystyle
  \sin{\left( \left( 2 n + \dfrac{1}{3} \right) \pi \right)} = \dfrac{ \sqrt{3} }{ 2 }
  \quad (n : \text{整数})
が成り立つが,  \left( 2 n + \dfrac{1}{3} \right) \pi および  \dfrac{ \sqrt{3} }{ 2 } はいずれも無理数である. □

この自明な場合を排除する問題にすると次のようになります。


こっちの方が非自明度は高いかなと思います。
以下に解答を書きます。



















想定解答.
任意の自然数  n に対して,  \dfrac{ \pi }{ 3^{n} }無理数である.  n に関する数学的帰納法により,  \sin{ \dfrac{ \pi }{ 3^{n} } }無理数であることを示す.
まず  n = 1 の場合は  \sin{ \dfrac{\pi}{3} } = \dfrac{ \sqrt{3} }{2} となり, 無理数である. 次に, ある  n に対して  \sin{ \dfrac{ \pi }{ 3^{n} } }無理数であると仮定する.  \alpha = \sin{ \dfrac{ \pi }{ 3^{n + 1} } } とおくと, 三倍角の公式より


  \sin{ \dfrac{\pi}{ 3^{n} } } = 3 \alpha - 4 \alpha^{3}

が成り立つ. もし  \alpha有理数であると仮定すると,  \sin{ \dfrac{\pi}{ 3^{n} } }有理数となり, 仮定に反する. よって  \alpha無理数である.
以上により, 任意の自然数  n に対して  \sin{ \dfrac{\pi}{3^{n}} }無理数であることが示された. □

別解.
 f : \left[ - \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right] \to [ - 1, 1] \sin{x} \left[ - \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right] への制限とする.  A - 1 以上  1 以下の無理数全体の集合とすると,  A非可算集合である.  f全射であることに注意すれば,  f^{-1}(A)非可算集合であることがわかる. よって  B := f^{-1}(A) \setminus \mathbb{Q} は無限集合である. 任意の  x \in B無理数であり,  f(x) = \sin{x} \in A より  \sin{x}無理数である. □