三角関数のとんち?問題です。
【すむーずぷりんからの挑戦状】
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月18日
問21. sin(x) が無理数となるような無理数 x は無数に存在することを示せ. ただし π が無理数であることは証明なしに用いてもよい.
想定回答は後ほど。
実は不手際で自明な解があります。
以下に解答を書きます。
想定解答.
が成り立つが, および はいずれも無理数である. □
この自明な場合を排除する問題にすると次のようになります。
【すむーずぷりんからの挑戦状】
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月18日
問21.5(おまけ). sin(x) が無理数となるような, -π/2≦x≦π/2 を満たす無理数 x は無数に存在することを示せ. ただし π が無理数であることは証明なしに用いてもよい.
こっちの方が非自明度は高いかなと思います。
以下に解答を書きます。
想定解答.
任意の自然数 に対して, は無理数である. に関する数学的帰納法により, が無理数であることを示す.
まず の場合は となり, 無理数である. 次に, ある に対して が無理数であると仮定する. とおくと, 三倍角の公式より
が成り立つ. もし が有理数であると仮定すると, が有理数となり, 仮定に反する. よって は無理数である.
以上により, 任意の自然数 に対して が無理数であることが示された. □
別解.
を の への制限とする. を 以上 以下の無理数全体の集合とすると, は非可算集合である. が全射であることに注意すれば, も非可算集合であることがわかる. よって は無限集合である. 任意の は無理数であり, より も無理数である. □