【挑戦状】問3 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

三角関数の問題です。

三角関数を習いたての人がやりがちな、三角関数を線形として扱ってしまう操作をそのまま問題にしました。意外と試行錯誤しないと解けないかもしれません。
以下に解答を書きます。

 

 

 

 

 

 

想定解答.
1 = \cos^{2}{x} + \sin^{2}{x}
= \{ \cos{(x + y)} - \cos{y} \}^{2} + \{ \sin{(x + y)} - \sin{y} \}^{2}
= \{ \cos^{2}{(x + y)} + \sin^{2}{(x + y)} \}
\hphantom{{}={}} - 2 \{ \cos{(x + y)} \cos{y} + \sin{(x + y)} \sin{y} \}
\hphantom{{}={}} + \{ \cos^{2}{y} + \sin^{2}{y} \}
= 2 - 2 \cos{x}
なので, \cos{x} = \dfrac{1}{2} である. x と y を入れ替えて同様の計算を行えば, \cos{y} = \dfrac{1}{2} も示される. 0 \lt x \lt y \lt 2 \pi に注意すれば, (x, y) = \left( \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5 \pi}{3} \right) が得られ, これは問の条件を満たす. □

別解.

i を虚数単位として
z_{1} = \cos{x} + i \sin{x}, \quad z_{2} = \cos{y} + i \sin{y}
とおく. 明らかに |z_{1}| = |z_{2}| = 1 が成り立つ. ド・モアブルの定理と条件式から
z_{1} z_{2} = \cos{(x + y)} + i \sin{(x + y)} = z_{1} + z_{2}
が成り立つ. z_{2} を移項して絶対値をとれば
| z_{1} - 1 | = | (z_{1} - 1) z_{2} | = | z_{1} | = 1
を得る. したがって z_{1} が複素数平面において, 原点を中心とする単位円および 1 を中心とする単位円の交点にあることが分かる. 移項するものを z_{2} の代わりに z_{1} にすれば, 同様の結果が z_{2} に対しても得られる. 0 \lt x \lt y \lt 2 \pi に注意すれば, 結局
z_{1} = \dfrac{1 + \sqrt{3} i}{2}, \quad z_{2} = \dfrac{1 - \sqrt{3} i}{2}
であり, (x, y) = \left( \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5 \pi}{3} \right) と分かる. これは問の条件を満たす. □