今回は整数の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問34. 2019=672+673+674 のように, 2019 を 1 つ以上のいくつかの連続した自然数の和で表す方法は何通りあるか. ただし足す順序を入れ替えたものは同じ表し方として数えることとする.想定解答は↓https:…

今回は平面図形の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問33. 一辺の長さが 1 の正方形の内部または周上にある異なる 2 点を取るとき, 2 点間の距離の最大値を求めよ.想定解答は↓https://t.co/w5OhF5IEXu— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート…

無限級数の問題です。問32. 無限級数Σ[n=1〜∞] sin(π/n)は発散することを示せ.想定回答は後ほど。— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月29日 が大きいところでどういう振る舞いをするかを考えれば、自ずと解法が見えてく…

今回は整数の問題です。問31. 334 は十進法では平方数でない. では N 進法で 334 が平方数であるような 5 以上の自然数 N は存在するか？想定解答は↓https://t.co/P9BrKFDnI9— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月28日 フ…

今回は確率の問題です。問30. さいころを1回振り, 出た目 n に応じて, さらにさいころを n 回振る. (n + 1) 回で出た目の合計を S とするとき, S の期待値を求めよ.想定解答は↓https://t.co/2LCCEo1nVR— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート (@mat…

今回は立方体の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問29. 一辺の長さが 1 の立方体 ABCD-EFGH がある. この立方体の面, 辺, 頂点のみを通って点 A から点 G へ至る経路を考えるとき, その長さの最小値は √5 であることを示せ.想定解答は↓https://t.co/…

今日はクリスマスに因んだ整数問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問28. 約数の個数が 1225 個の自然数のうち, 最小のものを求めよ.想定回答は後ほど。— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月25日 問題とは関係あり…

積分と極限の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問27. f(x) は f(0)=1 を満たす整式とする. a>0 に対し, 曲線 y=x(a-x)f(x) と直線 x=0, a で囲まれた領域を, x 軸を中心に一回転させたときにできる立体の体積を V(a) とするとき, lim[a→0] V(a)/a⁵ …

今回は数列と極限の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問26. a_1 = 0, a_{n+1}=√(6 - a_n) で定義される数列 {a_n} がある. 極限lim[n→∞] a_nが存在するかどうか判定せよ. もし収束するならば, 極限値を求めよ.想定解答は↓https://t.co/6UG7AGtGw9— …

空間図形の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問25. 底面の周の長さと高さの和が 1 であるような円柱について, 体積の最大値を求めよ.想定解答は↓https://t.co/E141iwgNka— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月22…

確率の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問24. さいころを N (≧2) 回投げる. 2回目以降, 前回と同じ目が出た場合に1点を獲得する. はじめの点数が0点であるとき, さいころを N 回投げ終わった時点での点数の期待値を求めよ.想定解答はまた後ほど。— …

関数方程式の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問23. 実数全体で定義される連続関数 f(x) は(i) f(x+1) = 2f(x)(ii) f(2x) = {f(x)}²を満たすという. このような f(x) をすべて求めよ.想定解答は↓https://t.co/FoPrz1yT1t— すむーずぷりんちゃん【挑…

微分と極限の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問22. f(x) は実数全体で定義される x=0 で微分可能な関数とし,F(x)=f(x)cos(1/x) (x≠0), 0 (x=0)と定める. 次の (p), (q) が同値であることを示せ.(p) f(0)=f'(0)=0(q) F(x) は x=0 で微分可能想定解…

三角関数のとんち？問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問21. sin(x) が無理数となるような無理数 x は無数に存在することを示せ. ただし π が無理数であることは証明なしに用いてもよい.想定回答は後ほど。— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツ…

よく分からない積分の値を比較する問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】※クソ問注意！問20. 次の不定積分の大小関係を求めよ.∫[0→√(π/2)] cos(u²) du, ∫[0→√π] sin(u²) du必要ならば 2√2<π<√10 を証明なしに用いてもよい.想定解答は↓https://t.co/WEBhi…

今回は三角関数の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問 19. 実数 α に対し, 次の2つは同値であることを示せ.(a) sin(α), cos(α) はともに有理数である.(b) 任意の自然数 n に対し, sin(nα), cos(nα) は有理数である.想定解答は↓https://t.co/sbnPR7vL…

今回は算数っぽい問題にしてみました。【すむーずぷりんからの挑戦状】問18. 時針・分針・秒針がすべて連続的に動く時計がある. この時計の針同士のなす角の大きさがそれぞれ整数度となる時刻は一日に何回あるか. ただし一日は0時0分0秒から23時59分59秒まで…

図形と整数の複合問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問17. 各辺の長さが高々2個の素数の積で表されるような直角三角形をすべて求めよ.想定解答は↓https://t.co/KWO7hNOVa5— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月14…

今回は確率の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問16. n を自然数とする. n 枚のコインを投げたときに表のコインが 334 枚になる確率が最も大きくなる n をすべて求めよ.想定解答は↓https://t.co/awqAIZDGFl— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツ…

今回は空間図形の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問15. 点 O を中心とする半径 1 の球面 S がある. 四角形 ABCD の各頂点は S 上にあり, 2つの対角線は O で交わるとする. 点 P が S 上を動くとき, AP+BP+CP+DP の最大値を求めよ.想定解答は↓https…

微積の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問14. f(x)=ax + e^{-x²} が単調増加, すなわちx < y ⇒ f(x) < f(y)となるような定数 a の範囲を求めよ.想定解答は↓https://t.co/JfBdHuizEZ— すむーずぷりんちゃん (@mat_der_D) 2019年12月10日 基本的な議…

整数の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問13. p+2q, q+2r, r+2p, p+q+r がいずれも素数となるような素数の組 (p, q, r) は存在しないことを示せ.想定解答は↓https://t.co/v4Okyctosx— すむーずぷりんちゃん (@mat_der_D) 2019年12月9日 作った側と…

数列の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問12. f(x)=e^x cos(x) とし, 自然数 n に対して f(x) の n 次導関数の x=0 の値を a_n とおく. a₁₁₄₅₁₄ を求めよ.想定解答は↓https://t.co/1z0fO7dTsV— すむーずぷりんちゃん (@mat_der_D) 2019年12月8日 こ…

整式の根に関する問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問11. x に関する方程式 x⁴ + 2 x³ + 3 x² + 4 x + 5 = 0 と 5 x⁴ + 4 x³ + 3 x² + 2 x + 1 = 0 は共通の実数解を持たないことを示せ.想定解答は↓https://t.co/9HYXUmh5q9— すむーずぷりんちゃん (…

今回は整数問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問10. n+1 の正の約数が n 個となるような自然数 n をすべて求めよ.想定解答は↓https://t.co/Pl1piqQYni— すむーずぷりんちゃん (@mat_der_D) 2019年12月6日 いろいろ実験してみて、どういう ならありそ…

今回は極限の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問9. 任意の整式 f(x) および任意の定数 a>1 に対して,∑[n=0～∞] f(n)/a^nは収束することを示せ.想定解答は↓https://t.co/R9Dg5Mzk5q— すむーずぷりんちゃん (@mat_der_D) 2019年12月5日 一般的な設定…

河野太郎コインの問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問8. 表に「河」, 裏に「太」と書かれたコイン A と, 表に「野」, 裏に「郎」と書かれたコイン B がある. これらのコインを同時に n 回投げ, 上面に書かれた文字を ABAB… の順に左から書いていった…

得体の知れない不等式を示す問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問7. 以下の不等式を示せ. pic.twitter.com/Ac4RmlM1QT— すむーずぷりんちゃん (@mat_der_D) 2019年12月3日 正直、これが自分が受けている入試で出てきたらとりあえず飛ばすと思います。…

整数の不等式の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問6. 自然数の組 (x, y) であってx

整数チックな方程式の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問5. α=³√2, β=√2 とする.α^x - β^y=1を満たす整数 x, y をすべて求めよ. ただし a^b は「a の b 乗」を表す.— すむーずぷりんちゃん (@mat_der_D) 2019年12月1日 解をひとつ見つけること自体…