【挑戦状】問7 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

得体の知れない不等式を示す問題です。


正直、これが自分が受けている入試で出てきたらとりあえず飛ばすと思います。普段使っていない考え方を使うとするする解けてしまうという、知恵の輪チックな問題です。
以下に解答を書きます。









想定解答.
(i) 0 < x < \pi のとき
\sin{x} > 0 なので
\pi^{\sin{x}} > 1 \geqq \sin{ \dfrac{1}{x} }
が成り立つ.
(ii) \pi \leqq x のとき
t > 0 に対して \sin{t} < t なので, t = \dfrac{1}{x} とすれば
\sin{ \dfrac{1}{x} } < \dfrac{1}{x} \leqq \dfrac{1}{\pi} \leqq \pi^{\sin{x}}
が成り立つ. □

なお, y = \pi^{\sin{x}} と y = \sin{ \dfrac{1}{x} } のグラフは以下の通り:

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