【挑戦状】問6 想定解答. - ぷりんの雑記帳

整数の不等式の問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問6. 自然数の組 (x, y) であって
x<y, x^y<y^x
を同時に満たすものをすべて求めよ. ただし a^b は「a の b 乗」を表す.
— すむーずぷりんちゃん🍮 (@mat_der_D) 2019年12月2日

入試オタクの人であれば, $e^{\pi}$ と $\pi^{e}$ の大小比較をする問題を連想してピンとくるかもしれません。
以下に解答を書きます。

想定解答.
$x, y \geqq 1$ であることから, $x^{y} \lt y^{x}$ の辺々の対数を取って整理すると
$\dfrac{\log{x}}{x} \lt \dfrac{\log{y}}{y}$
となる. $f(x) = \dfrac{\log{x}}{x}$ とおくと
$f'(x) = \dfrac{ 1 - \log{x} }{x^{2}}$
となり, $0 \lt x \leqq e$ で単調増加, $e \leqq x$ で単調減少であることが分かる. よって $f(x) \lt f(y)$ かつ $x \lt y$ であるためには, $0 \lt x \leqq e$ が必要である. $e = 2.718 \dots$ なので, $x = 1, 2$ である.
$x = 1$ の場合は $y$ が任意の $2$ 以上の自然数の場合で成立する.
$x = 2$ の場合は $2^{4} = 4^{2}$ であることから, $2 \lt y \lt 4$ のときに成立するが, これは $y = 3$ のみが適する.
以上から $(x, y) = (1, n), (2, 3)$ ( $n$ は $2$ 以上の任意の自然数). □