【挑戦状】問23 想定解答. - ぷりんの雑記帳

関数方程式の問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問23. 実数全体で定義される連続関数 f(x) は
(i) f(x+1) = 2f(x)
(ii) f(2x) = {f(x)}²
を満たすという. このような f(x) をすべて求めよ.

想定解答は↓https://t.co/FoPrz1yT1t
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月20日

とにかくいろいろ代入して実験してみましょう。成立しそうな $f(x)$ を考えることも大切かもしれません。
以下に解答を書きます。

想定解答.
条件 (ii) に $x = 0$ を代入すると $f(0) = \{ f(0) \}^{2}$ となるので, $f(0) = 0, 1$ である.
任意の整数 $n$ に対して, $f(n) = f(0) \cdot 2^{n}$ となることを示す. まず $n = 0$ のときは $f(0) = f(0) \cdot 2^{0}$ なので成立する. よって, ある整数 $k$ に対して $f(k) = f(0) \cdot 2^{k}$ が成り立つときに $f(k + 1) = f(0) \cdot 2^{k + 1}$ , $f(k - 1) = f(0) \cdot 2^{k - 1}$ となることを示せばよい. これは条件 (i) より

$f(k + 1) = 2 f(k) = 2 f(0) \cdot 2^{k} = f(0) \cdot 2^{k + 1}$

および

$f(k - 1) = \dfrac{ f(k) }{2} = \dfrac{ f(0) \cdot 2^{k} }{ 2 } = f(0) \cdot 2^{k - 1}$

と示される.
次に実数 $x$ を任意に固定し, $a_{0}$ を $x$ 以下の最大の整数とする. このとき $0 \leqq x - a_{0} < 1$ である. $x - a_{0}$ を二進法で小数展開したときの小数第 $n$ 位を $a_{n} \in \{ 0, 1 \}$ とおく. このとき

$\displaystyle x = a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{ a_{n} }{ 2^{n} }$

が成り立つ. 自然数 $N$ に対して

$\displaystyle x_{N} = a_{0} + \sum_{n = 1}^{N} \dfrac{ a_{n} }{ 2^{n} }$

とおくと, $2^{N} x_{N}$ は整数なので, $f(2^{N} x_{N}) = f(0) \cdot 2^{ 2^{N} x_{N} }$ が成り立つ. 条件 (ii) から

$\{ f( 2^{N - 1} x_{N} ) \}^{2} = f( 2^{N} x_{N} ) = f(0) \cdot 2^{ 2^{N} x_{N} }$

が成り立ち, さらに条件 (ii) から

$f( 2^{N - 1} x_{N}) = \{ f( 2^{N - 2} x_{N} ) \}^{2} \geqq 0$

なので,

$f( 2^{N - 1} x_{N}) = \sqrt{ f(0) \cdot 2^{ 2^{N} x_{N} } } = f(0) \cdot 2^{ 2^{N - 1} x_{N} }$

となる. ここで $f(0) = 0, 1$ を用いた. 同様の議論を繰り返すことで

$f(2^{N - 2} x_{N}) = \sqrt{ f( 2^{N - 1} x_{N}) } = f(0) \cdot 2^{ 2^{N - 2} x_{N}},$
$f(2^{N - 3} x_{N}) = \sqrt{ f( 2^{N - 2} x_{N}) } = f(0) \cdot 2^{ 2^{N - 3} x_{N}}, \dots$