【挑戦状】問22 想定解答. - ぷりんの雑記帳

微分と極限の問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問22. f(x) は実数全体で定義される x=0 で微分可能な関数とし,
F(x)=f(x)cos(1/x) (x≠0), 0 (x=0)
と定める. 次の (p), (q) が同値であることを示せ.
(p) f(0)=f'(0)=0
(q) F(x) は x=0 で微分可能

想定解答は↓https://t.co/Q90rCf8bFl
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月19日

必要な事項は数IIIの範囲に収まりますが、あまり入試で見ない形なので戸惑うかもしれません。
以下に解答を書きます。

想定解答.
[(p) $\Rightarrow$ (q)]
$f(0)=f'(0)=0$ より

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{ f(h) }{ h } = 0$

が成り立つ. よって

$\displaystyle \left| \dfrac{ F(h) - F(0) }{ h } \right| = \left| \dfrac{f(h)}{h} \cos{ \dfrac{1}{h} } \right| \leqq \left| \dfrac{f(h)}{h} \right| \to 0 \quad (h \to 0)$

となる. すなわち $F(x)$ は $x = 0$ で微分可能である.

[(q) $\Rightarrow$ (p)]
$f(x), F(x)$ は $x = 0$ で微分可能なので, $x = 0$ で連続である. よって自然数 $n$ に対して $x_{n} = \dfrac{1}{ 2 n \pi}$ とおけば $F(x_{n}) = f(x_{n})$ なので

$\displaystyle f(0) = \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = \lim_{n \to \infty} F(x_{n}) = F(0) = 0$

となる. これより

$\displaystyle F'(0) = \lim_{n \to \infty} \dfrac{ F(x_{n}) - F(0) }{ x_{n} } = \lim_{n \to \infty} \dfrac{ f(x_{n}) - f(0) }{ x_{n} } = f'(0)$

が得られる. さらに自然数 $n$ に対して $y_{n} = \dfrac{1}{ (n + \frac{1}{2}) \pi }$ とおけば

$\displaystyle F'(0) = \lim_{n \to \infty} \dfrac{ F(y_{n}) - F(0) }{ y_{n} } = \lim_{n \to \infty} \dfrac{ f(y_{n}) }{ y_{n} } \cos{ \dfrac{1}{y_{n}} } = 0$

となる. よって $f'(0) = 0$ である. □