多項式の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問45. ある2次の整式 f(x) について, 任意の整数 n に対して f(n) は偶数になるという. このとき f(x) の係数はすべて整数であることを示せ.想定解答は後ほど。— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイ…

算数っぽい場合の数の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問44. 一円玉・五円玉・十円玉がたくさんあり, これらの一部を集めて合計44円のセットを作る. このようなセットは何通り作れるか.想定解答は↓https://t.co/vjYkZombB8— すむーずぷりんちゃん【…

図形の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問43. ある n 角形は, ある点 O を中心にしてある角度 θ (0<θ≦2π) だけ回転させると元の図形と一致するという. このとき θ/π は有理数であることを示せ.想定解答は↓https://t.co/5EWmXdMGHi— すむーずぷりん…

ヘンテコなさいころの問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問42. さいころを2回振る. ただし一度出た目は 0 の目に変化するものとする(確率は変化しない). 出た目の和の期待値を求めよ.想定解答は↓https://t.co/1zDiHWYVeP— すむーずぷりんちゃん【挑戦…

二次関数の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問41. a を実数とする. 点 A(0, a) と曲線 y=x² 上を動く点 P に対し, AP の最小値を a の式で表せ.想定解答は↓https://t.co/Sy2DR7nmkk— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 20…

関数の例を挙げる問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問40. 実数全体で定義される微分可能な関数 f(x) であって, lim[x→∞] f(x) は収束するが lim[x→∞] f'(x) は収束しないものをひとつ挙げよ.想定回答は後ほど。— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固…

積分の値を評価する問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問39. ∫[x=0～1] e^(-x²) dx > 2/3 を示せ. 必要ならば 2.71828 < e < 2.71829 を用いてもよい.想定解答は↓https://t.co/hgrlQcEyei— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D…

三角関数と整式の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問38. 任意の整数 n に対して f(sin(n°))=0 となるような, 整数係数の整式 f(x)≠0 が存在することを示せ.想定回答は後ほど.— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2020年1…

整数と確率の複合問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問37. さいころを3回振り, 1回目に出た目を百の位, 2回目に出た目を十の位, 3回目に出た目を一の位とする3桁の自然数を N とおく. N が 37 の倍数である確率を求めよ.想定解答は↓https://t.co/vt7Z…

不等式の処理の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問36. a, b を実数とし, f(x)=1+ax+bx² とおく. 任意の実数 x に対して f(x)≦e^x が成り立つような a, b の範囲を求めよ.想定解答は↓https://t.co/yRTaTuxut7— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定…

今回は無理数であることを示す問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問35. tan2020° は無理数であることを示せ.想定解答は↓https://t.co/alhCw6nZ9K— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2020年1月1日 あけましておめでとうござ…

今回は整数の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問34. 2019=672+673+674 のように, 2019 を 1 つ以上のいくつかの連続した自然数の和で表す方法は何通りあるか. ただし足す順序を入れ替えたものは同じ表し方として数えることとする.想定解答は↓https:…

今回は平面図形の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問33. 一辺の長さが 1 の正方形の内部または周上にある異なる 2 点を取るとき, 2 点間の距離の最大値を求めよ.想定解答は↓https://t.co/w5OhF5IEXu— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート…

無限級数の問題です。問32. 無限級数Σ[n=1〜∞] sin(π/n)は発散することを示せ.想定回答は後ほど。— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月29日 が大きいところでどういう振る舞いをするかを考えれば、自ずと解法が見えてく…

今回は整数の問題です。問31. 334 は十進法では平方数でない. では N 進法で 334 が平方数であるような 5 以上の自然数 N は存在するか？想定解答は↓https://t.co/P9BrKFDnI9— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月28日 フ…

今回は確率の問題です。問30. さいころを1回振り, 出た目 n に応じて, さらにさいころを n 回振る. (n + 1) 回で出た目の合計を S とするとき, S の期待値を求めよ.想定解答は↓https://t.co/2LCCEo1nVR— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート (@mat…

今回は立方体の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問29. 一辺の長さが 1 の立方体 ABCD-EFGH がある. この立方体の面, 辺, 頂点のみを通って点 A から点 G へ至る経路を考えるとき, その長さの最小値は √5 であることを示せ.想定解答は↓https://t.co/…

今日はクリスマスに因んだ整数問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問28. 約数の個数が 1225 個の自然数のうち, 最小のものを求めよ.想定回答は後ほど。— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月25日 問題とは関係あり…

積分と極限の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問27. f(x) は f(0)=1 を満たす整式とする. a>0 に対し, 曲線 y=x(a-x)f(x) と直線 x=0, a で囲まれた領域を, x 軸を中心に一回転させたときにできる立体の体積を V(a) とするとき, lim[a→0] V(a)/a⁵ …

今回は数列と極限の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問26. a_1 = 0, a_{n+1}=√(6 - a_n) で定義される数列 {a_n} がある. 極限lim[n→∞] a_nが存在するかどうか判定せよ. もし収束するならば, 極限値を求めよ.想定解答は↓https://t.co/6UG7AGtGw9— …

空間図形の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問25. 底面の周の長さと高さの和が 1 であるような円柱について, 体積の最大値を求めよ.想定解答は↓https://t.co/E141iwgNka— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月22…

確率の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問24. さいころを N (≧2) 回投げる. 2回目以降, 前回と同じ目が出た場合に1点を獲得する. はじめの点数が0点であるとき, さいころを N 回投げ終わった時点での点数の期待値を求めよ.想定解答はまた後ほど。— …

関数方程式の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問23. 実数全体で定義される連続関数 f(x) は(i) f(x+1) = 2f(x)(ii) f(2x) = {f(x)}²を満たすという. このような f(x) をすべて求めよ.想定解答は↓https://t.co/FoPrz1yT1t— すむーずぷりんちゃん【挑…

微分と極限の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問22. f(x) は実数全体で定義される x=0 で微分可能な関数とし,F(x)=f(x)cos(1/x) (x≠0), 0 (x=0)と定める. 次の (p), (q) が同値であることを示せ.(p) f(0)=f'(0)=0(q) F(x) は x=0 で微分可能想定解…

三角関数のとんち？問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問21. sin(x) が無理数となるような無理数 x は無数に存在することを示せ. ただし π が無理数であることは証明なしに用いてもよい.想定回答は後ほど。— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツ…

よく分からない積分の値を比較する問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】※クソ問注意！問20. 次の不定積分の大小関係を求めよ.∫[0→√(π/2)] cos(u²) du, ∫[0→√π] sin(u²) du必要ならば 2√2<π<√10 を証明なしに用いてもよい.想定解答は↓https://t.co/WEBhi…

今回は三角関数の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問 19. 実数 α に対し, 次の2つは同値であることを示せ.(a) sin(α), cos(α) はともに有理数である.(b) 任意の自然数 n に対し, sin(nα), cos(nα) は有理数である.想定解答は↓https://t.co/sbnPR7vL…

今回は算数っぽい問題にしてみました。【すむーずぷりんからの挑戦状】問18. 時針・分針・秒針がすべて連続的に動く時計がある. この時計の針同士のなす角の大きさがそれぞれ整数度となる時刻は一日に何回あるか. ただし一日は0時0分0秒から23時59分59秒まで…

図形と整数の複合問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問17. 各辺の長さが高々2個の素数の積で表されるような直角三角形をすべて求めよ.想定解答は↓https://t.co/KWO7hNOVa5— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月14…

今回は確率の問題です。【すむーずぷりんからの挑戦状】問16. n を自然数とする. n 枚のコインを投げたときに表のコインが 334 枚になる確率が最も大きくなる n をすべて求めよ.想定解答は↓https://t.co/awqAIZDGFl— すむーずぷりんちゃん【挑戦状】は固定ツ…