【挑戦状】問35 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

今回は無理数であることを示す問題です。


あけましておめでとうございます。2020年になったということで、2020に関係する問題です。
以下に解答を書きます。

























想定解答.
\tan{2020^{\circ}} = \tan{( 40^{\circ} + 11 \times 180^{\circ} )} = \tan{40^{\circ}}

である. もし \tan{40^{\circ}} が有理数ならば, 倍角公式より

\tan{80^{\circ}} = \dfrac{ 2 \tan{40^{\circ}} }{ 1 - \tan^{2}{40^{\circ}} }

となるので, \tan{80^{\circ}} は有理数である. よって, 加法定理から

\tan{120^{\circ}} = \dfrac{ \tan{40^{\circ}} + \tan{80^{\circ}} } { 1 - \tan{40^{\circ}} \tan{80^{\circ}} }

も有理数である. 一方 \tan{120^{\circ}} = \sqrt{3} であり, これは無理数である. よって矛盾. したがって \tan{40^{\circ}} は無理数なので, \tan{2020^{\circ}} は無理数である. □