【挑戦状】問16 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

今回は確率の問題です。


典型的な操作の組み合わせなので、ぜひ正答してください。
以下に解答を書きます。















想定解答.
n 枚のコインを投げたときの表の枚数が 334 枚になる確率を p_{n} とおく.
明らかに p_{0} = p_{1} = \dots = p_{333} = 0 である. n \geqq 334 のとき
\displaystyle p_{n} = \dfrac{ {}_{n} \mathrm{C}_{334} }{ 2^{n} }
である. このとき
\displaystyle p_{n + 1} = \dfrac{ {}_{n + 1} \mathrm{C}_{334} }{ 2^{n + 1} } = \dfrac{ n + 1 }{ 2 (n - 333) } \cdot \dfrac{ {}_{n} \mathrm{C}_{334} }{ 2^{n} } = \dfrac{ n + 1 }{ 2 (n - 333) } p_{n}
より
\dfrac{ p_{n + 1} }{ p_{n} } = \dfrac{ n + 1 }{ 2 (n - 333) }
となる. よって
p_{n} \leqq p_{n + 1} \Leftrightarrow 2 (n - 333) \leqq n + 1 \Leftrightarrow n \leqq 667
なので
p_{334} < p_{335} < \dots < p_{666} < p_{667} = p_{668} > p_{669} > \dots
となることが分かる. したがって p_{n} が最大となるのは n = 667, 668. □