【挑戦状】問15 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

今回は空間図形の問題です。


かなり対称性が高いので、もしかしたらいろいろ別解があるかもしれません。
以下に解答を書きます。











想定解答.
三角形 \mathrm{APC} を含む円を考えると, 線分 \mathrm{AC} は直径になるので, 円周角の定理より \angle \mathrm{APC} = 90^{\circ} である. よって三平方の定理より \mathrm{AP}^{2} + \mathrm{CP}^{2} = \mathrm{AC}^{2} = 4 である. 三角形 \mathrm{BPD} に対しても同様の議論を行うことにより, \mathrm{BP}^{2} + \mathrm{DP}^{2} = 4 と分かる. よって Cauchy-Schwarz の不等式より

\begin{align} & \hphantom{{}={}} \mathrm{AP} + \mathrm{BP} + \mathrm{CP} + \mathrm{DP} \\ &= 1 \cdot \mathrm{AP} + 1 \cdot \mathrm{BP} + 1 \cdot \mathrm{CP} + 1 \cdot \mathrm{DP} \\ &\leqq \sqrt{ (1^{2} + 1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) \cdot (\mathrm{AP}^{2} + \mathrm{BP}^{2} + \mathrm{CP}^{2} + \mathrm{DP}^{2}) } \\ &= \sqrt{ 4 \cdot (4 + 4) } \\ &= 4 \sqrt{2} \end{align}

となる. 一方, 点 \mathrm{P} が四角形 \mathrm{ABCD} に垂直かつ点 \mathrm{O} を通る直線と S の交点と一致するとき, 三角形 \mathrm{APC} は \mathrm{AP} = \mathrm{CP} の直角二等辺三角形なので, \mathrm{AP} = \mathrm{CP} = \dfrac{\mathrm{AC}}{ \sqrt{2} } = \sqrt{2} である. 三角形 \mathrm{BPD} に対しても同様に考えることで, \mathrm{BP} = \mathrm{DP} = \sqrt{2} と分かる. したがってこのとき \mathrm{AP} + \mathrm{BP} + \mathrm{CP} + \mathrm{DP} = 4 \sqrt{2} となる. したがって \mathrm{AP} + \mathrm{BP} + \mathrm{CP} + \mathrm{DP} の最大値は 4 \sqrt{2}. □