【挑戦状】問14 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

微積の問題です。


基本的な議論を組み合わせるだけなので、ぜひ正解してください。
以下に解答を書きます。
















想定解答.
f(x) = a x + e^{- x^{2}} が単調増加であるためには

f'(x) = a - 2 x e^{- x^{2}} \geqq 0

が任意の x で成立することが必要である. g(x) = 2 x e^{- x^{2}} とおくと

g'(x) = 2 e^{- x^{2}} - 4 x^{2} e^{- x^{2}} = 2 (1 - 2 x^{2}) e^{- x^{2}}

となる. よって g(x) は x \leqq - \dfrac{1}{\sqrt{2}} で単調減少, - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \leqq x \leqq \dfrac{1}{ \sqrt{2} } で単調増加, \dfrac{1}{ \sqrt{2} } \leqq x で単調減少である. \lim\limits_{x \to - \infty} g(x) = 0 なので, g(x) の最大値は g \left( \dfrac{1}{ \sqrt{2} } \right) = \sqrt{ \dfrac{ 2 }{ e } } である. したがって任意の x に対して a - g(x) \geqq 0 が成り立つ a の範囲は a \geqq \sqrt{ \dfrac{ 2 }{ e } } である.
逆にこのとき x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} 以外では常に f'(x)>0 が成り立つので, f(x) が単調増加であることがわかる. □