【挑戦状】問38 想定解答. - ぷりんの雑記帳

三角関数と整式の問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問38. 任意の整数 n に対して f(sin(n°))=0 となるような, 整数係数の整式 f(x)≠0 が存在することを示せ.

想定回答は後ほど.
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2020年1月5日

半ばとんち問題です。いろいろ試行錯誤してみてください。
以下に解答を書きます。

想定解答.
整数係数のある整式 $T(x)$ であって,

$\displaystyle \cos{360 x} = T(\cos{x})$

となるものが存在する. これはチェビシェフ多項式と呼ばれる (参考: チェビシェフ多項式 | 高校数学の美しい物語). よって $f(x)$ を

$\displaystyle f(x) = T(x) - 1$

と定めると, 任意の整数 $n$ に対して

$\begin{align} f( \sin{n^{\circ}} ) &= T(\sin{n^{\circ}}) - 1 \\ &= T(\cos{(90 - n)^{\circ}}) - 1 \\ &= \cos{[ 360(90 - n)^{\circ} ]} - 1 \\ &= 1 - 1 \\ &= 0 \end{align}$

が成り立つ. □