【挑戦状】問11 想定解答. - ぷりんの雑記帳

整式の根に関する問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問11. x に関する方程式 x⁴ + 2 x³ + 3 x² + 4 x + 5 = 0 と 5 x⁴ + 4 x³ + 3 x² + 2 x + 1 = 0 は共通の実数解を持たないことを示せ.

想定解答は↓https://t.co/9HYXUmh5q9
— すむーずぷりんちゃん🍮 (@mat_der_D) 2019年12月7日

気合でなんとかすることも可能ですが、実はうまく議論すれば簡単に示すことが出来ます。
いつものように、以下に解答を書きます。

想定解答.
$f(x) = x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 5,$
$g(x) = 5 x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1$
とおく. $f(x) = 0$ と $g(x) = 0$ が共通の実数解 $x = \alpha$ を持つと仮定すると
$f(\alpha) + g(\alpha) = 6 (\alpha^{4} + \alpha^{3} + \alpha^{2} + \alpha + 1) = 0$
が成り立つ. 辺々に $\alpha - 1$ を掛けて整理すれば
$\alpha^{5} = 1$
となる. 関数 $h(x) = x^{5}$ は単調増加なので, $h(x) = 1$ の実数解はただ一つである. $h(\alpha) = h(1) = 1$ より $\alpha = 1$ が従う. ところが $f(1) = g(1) = 15 \neq 0$ なので, 仮定に矛盾する.
以上により, $f(x) = 0$ と $g(x) = 0$ は共通の実数解を持たないことが示された. □