【挑戦状】問10 想定解答. - ぷりんの雑記帳

今回は整数問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問10. n+1 の正の約数が n 個となるような自然数 n をすべて求めよ.

想定解答は↓https://t.co/Pl1piqQYni
— すむーずぷりんちゃん🍮 (@mat_der_D) 2019年12月6日

いろいろ実験してみて、どういう $n$ ならありそうかな？と考えてみると良いかもしれません。
下に解答を書きます。

想定解答.
$n = 1$ の場合は条件を満たさない.
以下, $n \geqq 2$ の場合を考える. $n$ と $n + 1$ は互いに素なので, 特に $n$ は $n + 1$ の約数ではない. したがって, $n$ が条件を満たすならば, $n + 1$ の約数は $1, 2, \dots, n - 1, n + 1$ である. よって特に $n - 1$ は $n + 1$ の約数である. したがって
$\dfrac{n + 1}{n - 1} = 1 + \dfrac{ 2 }{ n - 1 }$
は整数となるので, $n - 1$ は $2$ の約数である. よって $n = 2, 3$ が必要. 逆にこれらはいずれも条件を満たす.
以上から $n = 2, 3$ . □