【挑戦状】問18 想定解答. - ぷりんの雑記帳

今回は算数っぽい問題にしてみました。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問18. 時針・分針・秒針がすべて連続的に動く時計がある. この時計の針同士のなす角の大きさがそれぞれ整数度となる時刻は一日に何回あるか. ただし一日は0時0分0秒から23時59分59秒までとし、うるう秒などは考えないものとする.

想定解答はまた後ほど上げます。
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月15日

うまくやれば算数の範囲で解けそうですね。
以下に解答を書きます。

想定解答.
時針は一秒に $\dfrac{1}{120}$ 度, 分針は一秒に $\dfrac{1}{10}$ 度, 秒針は一秒に $6$ 度回転する. よって0時0分0秒から $x$ 秒経った時点で, 三つの針の間のなす角の大きさがそれぞれ整数となるためには

$\begin{alignat}{2} 6 x - \dfrac{x}{10} &= \ell, && \quad (1) \\ 6 x - \dfrac{x}{120} &= m, && \quad (2) \\ \dfrac{x}{10} - \dfrac{x}{120} &= n && \quad (3) \end{alignat}$

を満たす整数 $\ell, m, n$ が存在することが必要かつ十分である. (2) を整理すると

$\dfrac{719}{120} x = m \iff x = \dfrac{120}{719} m$

となるので, これを (3) に代入すると

$\dfrac{12}{719} m - \dfrac{m}{719} = n \iff 11 m = 719 n$

が得られる. $11$ と $719$ は互いに素なので, $m$ は $719$ の倍数となる. よって $m = 719 k$ ( $k$ は整数) とおくと $x = 120 k$ である. すなわち $x$ は整数で, $120$ の倍数である. 逆にこのとき (1), (2), (3) の左辺の値はすべて整数なので, 条件を満たす. すなわち, 0時0分0秒から $2$ 分ごとに条件を満たす. したがって一日で条件を満たす回数は

$\dfrac{60}{2} \times 24 = 720 \text{(回)}$

である. □