【挑戦状】問9 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

今回は極限の問題です。


一般的な設定なので、糸口を探すには実験が必要かもしれません。なお、整式とは単項式と多項式の総称ですので、間違って整数係数とかの条件を課さないようにしてくださいね。
解答を以下に書きます。











想定解答.
f(x) が常に 0 の場合は明らか. 以下では f(x) は常には 0 でない場合を考える.
f(x) の次数を d \, (\geqq 0) とおく. 以下, 問の主張を d に関する数学的帰納法により示す.
d = 0 の場合 (すなわち f(x) が 0 でない定数の場合) は
\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{ f(n) }{ a^{n} } = \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{ f(0) }{ a^{n} } = \dfrac{ a f(0) }{ a - 1 }
となるので収束する. 次に, ある k \geqq 0 に対して d = k のときに主張が成立すると仮定し, d = k + 1 の場合を考える. 自然数 N に対して
\displaystyle S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} \dfrac{ f(n) }{ a^{n} }
とおくと,
\begin{align} (a - 1) S_{N} &= \sum_{n = - 1}^{N - 1} \dfrac{ f(n + 1) }{ a^{n} } - \sum_{n = 0}^{N} \dfrac{ f(n) }{ a^{n} } \\ &= a f(0) + \sum_{n = 0}^{N - 1} \dfrac{ f(n + 1) - f(n) }{ a^{n} } - \dfrac{ f(N) }{ a^{N} } % \\ % &= % a f(0) + \sum_{n = 0}^{N - 1} \dfrac{ F(n) }{ a^{n} } % - \dfrac{ f(N) }{ a^{N} } \end{align}
となる. F(x) = f(x + 1) - f(x) とおくと, F(x) は k 次の整式なので, 帰納法の仮定から N \to \infty のとき第二項は収束する. また第三項は 0 に収束する. したがって
\displaystyle \lim_{N \to \infty} S_{N} = \dfrac{ a f(0) }{ a - 1 } + \dfrac{ 1 }{ a - 1 } \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{ F(n) }{ a^{n} }
となるので, d = k + 1 の場合も主張が成立することが示された.
以上により, 任意の整式 f(x) に対して主張が示された. □