【挑戦状】問4 想定解答

すむーずぷりんからの挑戦状

多面体の体積に関する問題です。


こういう簡単に計算できる問題を作るのは意外と難しかったりします。
以下に解答を書きます。








想定解答.
(1) \mathrm{O} から四角形 \mathrm{ABCD} に下した垂線の足を \mathrm{H} とし, h = \mathrm{OH} とする. 簡単な計算により \mathrm{AH} = \dfrac{a}{\sqrt{2}} と分かるので
h = \sqrt{ \mathrm{OA}^{2} - \mathrm{AH}^{2} } = \sqrt{ b^{2} - \dfrac{a^{2}}{2} }
となる. よって
V = \dfrac{a^{2} h}{3} = \dfrac{ \sqrt{ 2 a^{4} b^{2} - a^{6} } }{ 3 \sqrt{2} }
(2) ab = 1 のとき
V^{2} = \dfrac{2 a^{2} - a^{6}}{18}
となる. ここで
f(x) = \dfrac{ 2 x - x^{3} }{18} \quad (x > 0)
とおくと
f'(x) = \dfrac{ 2 - 3 x^{2} }{18}
となるので,
f(x) \leqq f \left( \sqrt{ \dfrac{2}{3} } \right) = \dfrac{2 \sqrt{6}}{81}
が得られる. ところで a = \sqrt[4]{ \dfrac{2}{3} } のとき b = \sqrt[4]{ \dfrac{3}{2} } となり, 四角錐の成立条件である \dfrac{a}{\sqrt{2}} < b を満たすので, a = \sqrt[4]{ \dfrac{2}{3} } のときに V は最大となる. よって V の最大値は
\sqrt{ \dfrac{ 2 \sqrt{6} }{81} } = \dfrac{ 2^{ \frac{3}{4} } }{ 3^{ \frac{7}{4} } }
である. □