【挑戦状】問25 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

空間図形の問題です。


基本問題なので、ぜひ正解してください。
以下に解答を書きます。





















想定解答.
底面の周の長さを x とすると, 半径は \dfrac{x}{2 \pi} と表される. よって体積 V は

\displaystyle V = \pi \left( \dfrac{ x }{ 2 \pi } \right)^{2} (1 - x) = \dfrac{ x^{2} (1 - x) }{ 4 \pi }

と表される. 0 < x < 1 であることに注意すれば, 相加相乗平均の不等式より

\begin{align} x^{2} (1 - x) &= 4 \left( \dfrac{ x }{ 2 } \right)^{2} (1 - x) \\ &\leqq 4 \left\{ \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} + (1 - x) \right) \right\}^{3} = \dfrac{ 4 }{ 27 } \end{align}

となる. 等号成立条件は \dfrac{x}{2} = 1 - x \iff x = \dfrac{2}{3} である. よって V の最大値は \dfrac{1}{ 27 \pi }. □