【挑戦状】問27 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

積分と極限の問題です。


とにかく手を動かして計算してみてください。計算の方針が経たない場合は、具体的に f(x) を勝手に置いて計算してみましょう。
以下に解答を書きます。



















想定解答.
\{ f(x) \}^{2} も整式である. 係数を

\displaystyle \{ f(x) \}^{2} = \sum_{n = 0}^{N} c_{n} x^{n}

とおく. このとき V(a) は

\begin{align} V(a) &= \pi \int_{0}^{a} x^{2} (a - x)^{2} \{ f(x) \}^{2} d x \\ &= \pi \sum_{n = 0}^{N} c_{n} \int_{0}^{a} x^{2} (a - x)^{2} x^{n} d x \\ &= \pi \sum_{n = 0}^{N} c_{n} \int_{0}^{a} \left( a^{2} x^{n + 2} - 2 a x^{n + 3} + x^{n + 4} \right) d x \\ &= \pi \sum_{n = 0}^{N} c_{n} \left[ \dfrac{ a^{2} x^{n + 3} }{ n + 3 } - \dfrac{ 2 a x^{n + 4} }{ n + 4 } + \dfrac{ x^{n + 5} }{ n + 5 } \right]_{0}^{a} \\ &= \pi \sum_{n = 0}^{N} \left( \dfrac{1}{n + 3} - \dfrac{2}{n + 4} + \dfrac{1}{n + 5} \right) a^{n + 5} \end{align}

となるので,

\displaystyle \lim_{a \to 0} \dfrac{ V(a) }{ a^{5} } = \pi c_{0} \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{5} \right) = \dfrac{\pi c_{0}}{30}

と分かる. c_{0} = \{ f(0) \}^{2} = 1 なので, 結局

\displaystyle \lim_{a \to 0} \dfrac{ V(a) }{ a^{5} } = \dfrac{ \pi }{ 30 }

である. □

実は, 「整式」の部分を「連続関数」に置き換えても同じ結果が得られます. (おそらく高校範囲は越えます)
別解.
F(x) = \{ f(x) \}^{2} とおくと

\displaystyle V(a) = \pi \int_{0}^{a} x^{2} (a - x)^{2} F(x) d x

となる. x = a t と変数変換すると

\displaystyle \begin{align} V(a) &= \pi \int_{0}^{1} (a t)^{2} (a - a t)^{2} F(a t) a d t \\ &= \pi a^{5} \int_{0}^{1} t^{2} (1 - t)^{2} F(a t) d t \end{align}

が得られる. F(x) は連続であり, F(0) = \{ f(0) \}^{2} = 1 なので,

\displaystyle \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, [ 0 \leqq x < \delta \Rightarrow | F(x) - 1 | < \varepsilon ]

が成り立つ. よって a < \delta とすれば

\displaystyle \begin{align} \left| \dfrac{ V(a) }{ a^{5} } - \pi \int_{0}^{1} t^{2} (1 - t)^{2} d t \right| &\leqq \pi \int_{0}^{1} t^{2} (1 - t)^{2} | F(a t) - 1 | d t \\ &< \pi \int_{0}^{1} t^{2} (1 - t)^{2} \varepsilon d t \end{align}

となる.

\displaystyle \int_{0}^{1} t^{2} (1 - t)^{2} d t = \left[ \dfrac{ t^{3} }{3} - \dfrac{2 t^{4}}{4} + \dfrac{ t^{5} }{5} \right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{30}

であることから, 結局 a < \delta ならば

\displaystyle \left| \dfrac{ V(a) }{ a^{5} } - \dfrac{\pi}{30} \right| < \dfrac{\pi}{30} \varepsilon

である. これはすなわち \displaystyle \lim_{a \to 0} \dfrac{V(a)}{ a^{5} } = \dfrac{\pi}{30} を表す. □