【挑戦状】問41 想定解答. - ぷりんの雑記帳

二次関数の問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問41. a を実数とする. 点 A(0, a) と曲線 y=x² 上を動く点 P に対し, AP の最小値を a の式で表せ.

想定解答は↓https://t.co/Sy2DR7nmkk
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2020年1月8日

落ち着いて式を立てれば、基本的な計算で求まるはずです。
以下に解答を書きます。

想定解答.
$\mathrm{P}(t, t^{2})$ とおく. $\mathrm{AP}^{2}$ を $f(t)$ とおくと

$\begin{align} f(t) &= t^{2} + (t^{2} - a)^{2} \\ &= t^{4} - 2 \left( a - \dfrac{1}{2} \right) t^{2} + a^{2} \\ &= \left\{ t^{2} - \left( a - \dfrac{1}{2} \right) \right\}^{2} + a^{2} - \left( a - \dfrac{1}{2} \right)^{2} \\ &= \left\{ t^{2} - \left( a - \dfrac{1}{2} \right) \right\}^{2} + a - \dfrac{1}{4} \end{align}$

となる. よって,
(i) $a \geqq \dfrac{1}{2}$ のとき
$f(t)$ の最小値は $f \left( a - \dfrac{1}{2} \right) = a - \dfrac{1}{4}$ である. よって $\mathrm{AP}$ の最小値は $\sqrt{ a - \dfrac{1}{4} }$ である.
(ii) $a < \dfrac{1}{2}$ のとき
$f(t)$ の最小値は $f(0) = a^{2}$ である. よって $\mathrm{AP}$ の最小値は $|a|$ である. □