ぷりんの雑記帳

【挑戦状】問36 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

不等式の処理の問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問36. a, b を実数とし, f(x)=1+ax+bx² とおく. 任意の実数 x に対して f(x)≦e^x が成り立つような a, b の範囲を求めよ.

想定解答は↓https://t.co/yRTaTuxut7
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2020年1月2日

高校範囲か怪しいですが、頑張ってください。苦笑
以下に解答を書きます。

想定解答.
$g(x) = e^{x} - f(x)$ とおく. 簡単な計算により,

$\displaystyle g(0) = 0, \quad g'(0) = 1 - a$

と分かる. よって

$\displaystyle \lim_{x \to + 0} \dfrac{ g(x) }{ x }, \quad \lim_{x \to - 0} \dfrac{ g(x) }{ - x }$

はいずれも収束して, それぞれ $g'(0), - g'(0)$ である. $g(x) \geqq 0$ が常に成り立つためには, いずれも $0$ 以上であることが必要なので, $g'(0) = 0$ が従う. よって $a = 1$ である.

(i) $b = 0$ の場合
$g(x) \geqq 0$ が常に成り立つ. 実際, $g(x) = e^{x} - 1 - x$ であり, $g'(x) = e^{x} - 1$ なので, $x \leqq 0$ では単調減少, $x \geqq 0$ では単調増加である. $g(0) = 0$ なので, $g(x) \geqq 0$ が成り立つ.

(ii) $b \neq 0$ の場合

$\displaystyle \lim_{x \to - \infty} g(x) = \begin{cases} - \infty & (b > 0) \\ + \infty & (b < 0) \end{cases}$

なので, $g(x) \geqq 0$ となるためには $b < 0$ が必要である. 逆に $b < 0$ のとき, (i) から

$\displaystyle g(x) = e^{x} - 1 - a x - b x^{2} \geqq - b x^{2} \geqq 0$

が成り立つ.

以上から, 任意の実数 $x$ に対して $f(x) \leqq e^{x}$ が成り立つための $a, b$ の条件は「 $a = 1$ かつ $b \leqq 0$ 」である. □