【挑戦状】問39 想定解答. - ぷりんの雑記帳

積分の値を評価する問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問39. ∫[x=0～1] e^(-x²) dx > 2/3 を示せ. 必要ならば 2.71828 < e < 2.71829 を用いてもよい.

想定解答は↓https://t.co/hgrlQcEyei
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2020年1月6日

いろんなアプローチがありますが、筋の良い方法を選ばないと泥沼化するかもしれません。
以下に解答を書きます。

想定解答.
任意の実数 $t$ に対して, $e^{t} \geqq 1 + t$ が成り立つ. ただし等号成立は $t = 0$ のみである. よって

$\displaystyle \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x > \int_{0}^{1} (1 - x^{2}) d x = \left[ x - \dfrac{ x^{3} }{3} \right]_{0}^{1} = \dfrac{2}{3}$

が成り立つ. □

別解(泥沼解法).
$f(x) = e^{- x^{2}}$ とおく. $f(0) = 1, f(1) = \dfrac{1}{e}$ である. 座標平面において二点 $(0, 1), \left( 1, \dfrac{1}{e} \right)$ を結ぶ直線の方程式は $g(x) = - \left( 1 - \dfrac{1}{e} \right) x + 1$ を用いて $y = g(x)$ と表される. もし $0 \leqq x \leqq 1$ において $g(x) \leqq f(x)$ が成り立つならば, $y=f(x)$ および $x = 0, x = 1, y = 0$ で囲まれた領域の面積を台形の面積で評価することができ,

$\displaystyle \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x \geqq \dfrac{1}{2} \left( 1 + \dfrac{1}{e} \right) > \dfrac{1}{2} \left( 1 + \dfrac{1}{3} \right) = \dfrac{2}{3}$

が従う. そこで $0 \leqq x \leqq 1$ において $g(x) \leqq f(x)$ となることを示す.

$\displaystyle h(x) = f(x) - g(x) = e^{- x^{2}} + \left( 1 - \dfrac{1}{e} \right) x - 1$

とおく. 微分すると

$\begin{align} h'(x) &= - 2 x e^{- x^{2}} + \left( 1 - \dfrac{1}{e} \right) \\ h''(x) &= - 2 e^{- x^{2}} + 4 x^{2} e^{- x^{2}} \\ &= 2 \left( x - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( x + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) e^{- x^{2}} \end{align}$