【挑戦状】問40 想定解答. - ぷりんの雑記帳

関数の例を挙げる問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問40. 実数全体で定義される微分可能な関数 f(x) であって, lim[x→∞] f(x) は収束するが lim[x→∞] f'(x) は収束しないものをひとつ挙げよ.

想定回答は後ほど。
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2020年1月7日

グラフを書きながら、どんな振る舞いがほしいか考えると思いつくと思います。
以下に解答を書きます。

想定解答.
例えば

$\displaystyle f(x) = e^{- x} \sin{ e^{x} }$

とすればよい. 実際, $| f(x) | \leqq e^{- x}$ より $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$ だが

$\displaystyle f'(x) = - e^{- x} \sin{ e^{x} } + \cos{ e^{x} }$

なので, 自然数 $n$ に対して

$\displaystyle f( \log{ n \pi } ) = ( - 1 )^{n}$

となり, $\lim\limits_{x \to \infty} f'(x)$ は収束しない. □

[解説]
$f'(x)$ が $x \to \infty$ で収束しないものとして, 有限の振幅で振動する関数, 三角関数を用いることを考えます. このままでは $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)$ が収束しないので, 適当に収束させる因子として $e^{- x}$ を掛けて $f(x) = e^{- x} \sin{x}$ としてみます. そうすると

$\displaystyle f'(x) = - e^{x} \sin{x} + e^{- x} \cos{x} = \sqrt{2} e^{- x} \cos{\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)}$

となり, $\lim\limits_{x \to \infty} f'(x)$ も $0$ に収束してしまいます. これは三角関数の振動が $e^{- x}$ のせいで $x \to 0$ で抑制されてしまっていることによります. そこで $\sin{x}$ の部分を $\sin{e^{x}}$ に変えてみると, うまく振動を強めることができ, 無事上で述べた例となります. なお, 減衰の効果よりももっと強く振動させれば問題ないので, たとえば

$\displaystyle f(x) = e^{- x} \sin{ e^{x^{2}} }$

でも条件を満たします.