2024年京大理系数学第5問解いてみた

こんにちは。久しぶりに入試問題を解いたので、私の解答を記事にしたいと思います。

問. $a$ は $a \geqq 1$ を満たす定数とする. 座標平面上で, 次の4つの不等式が表す領域を $D_{a}$ とする.

$x \geqq 0$

$\dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2} \leqq y$

$y \leqq \dfrac{e^{x} + e^{-x}}{2}$

$y \leqq a$

次の問いに答えよ.
(1) $D_{a}$ の面積 $S_{a}$ を求めよ.
(2) $\lim\limits_{a \to \infty} S_{a}$ を求めよ.

※面倒だったのでグラフは用意していません。追う際に必要になったら手元で書いてください。

解答.
(1) $x \geqq 0$ に対し, $f(x) = \dfrac{e^{x} + e^{-x}}{2}$ , $g(x) = \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}$ とする.
$x > 0$ に対し, $f'(x) = g(x)$ および $g'(x) = f(x)$ が成り立つ. $x > 0$ のとき $f(x), g(x) > 0$ であることから, $f(x), g(x)$ は単調増加である.
さらに

$f(0) = 1 \leqq a$ , $g(0) = 0 \leqq a$
$\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \infty$ , $\lim\limits_{x \to \infty}g(x) = \infty$

であることから, $f(x) = a$ を満たす $x$ および $g(x) = a$ を満たす $x$ がそれぞれ一意的に存在することが従う. これらはそれぞれ具体的に

$x = \psi(a) = \log\left( a + \sqrt{a^{2} - 1} \right)$
$x = \phi(a) = \log\left( a + \sqrt{a^{2} + 1} \right)$

と書ける. 実際 $a + \sqrt{a^{2} \pm 1} \geqq a \geqq 1$ より $\psi(a), \phi(a) \geq 0$ であり, また

$\dfrac{1}{ a + \sqrt{a^{2} - 1} } = a - \sqrt{a^{2} - 1}$
$\dfrac{1}{ a + \sqrt{a^{2} + 1} } = - a + \sqrt{a^{2} + 1}$

より $f(\psi(a)) = g(\phi(a)) = a$ である.
以上の記法を用いると
$\displaystyle S_{a} = \int_{0}^{\psi(a)} f(x) dx + \int_{\psi(a)}^{\phi(a)} a dx - \int_{0}^{\phi(a)} g(x) dx$
と表される. ただし $f(x) > g(x)$ であることを用いた. 各項を計算すると

$\displaystyle\int_{0}^{\psi(a)} f(x) dx = \left[ g(x) \right]_{0}^{\psi(a)} = g(\psi(a)) = \sqrt{a^{2} - 1}$
$\displaystyle\int_{\psi(a)}^{\phi(a)} a dx = a( \phi(a) - \psi(a) ) = a \log\left( \dfrac{a + \sqrt{a^{2} + 1}}{a + \sqrt{a^{2} - 1}} \right)$
$\displaystyle\int_{0}^{\phi(a)} g(x) dx = \left[ f(x) \right]_{0}^{\phi(a)} = f(\phi(a)) - 1 = \sqrt{a^{2} + 1} - 1$

となる. したがって
$\displaystyle S_{a} = 1 + \sqrt{a^{2} - 1} - \sqrt{a^{2} + 1} + a \log\left( \dfrac{a + \sqrt{a^{2} + 1}}{a + \sqrt{a^{2} - 1}} \right)$ .
(2) 次をすべて満たす領域を $E_{a}$ とする.

$0 \leqq x \leqq \psi(a)$
$g(x) \leqq y \leqq f(x)$

さらに次をすべて満たす領域を $F_{a}$ とする.

$0 \leqq x \leqq \phi(a)$
$g(x) \leqq y \leqq f(x)$

このとき $E_{a} \subset D_{a} \subset F_{a}$ である. よって $E_{a}$ , $F_{a}$ の面積をそれぞれ $T_{a}$ , $U_{a}$ とすると, $T_{a} \leqq S_{a} \leqq U_{a}$ が成り立つ.
$T_{a}$ , $U_{a}$ を計算すると以下のようになる.

$\displaystyle T_{a} = \int_{0}^{\psi(a)} (f(x) - g(x)) dx = \int_{0}^{\psi(a)} e^{-x} dx = 1 - e^{- \psi(a)}$
$\displaystyle U_{a} = \int_{0}^{\phi(a)} (f(x) - g(x)) dx = \int_{0}^{\phi(a)} e^{-x} dx = 1 - e^{- \phi(a)}$

これと $\lim\limits_{a \to \infty} \psi(a) = \infty$ , $\lim\limits_{a \to \infty} \phi(a) = \infty$ から, $\lim\limits_{a \to \infty}T_{a} = 1$ および $\lim\limits_{a \to \infty}U_{a} = 1$ が従う. よってはさみうちの原理から $\lim\limits_{a \to \infty} S_{a} = 1$ である. □