【挑戦状】問26 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

今回は数列と極限の問題です。


おそらく類題がどこかの入試問題であった気がします。
頑張って試行錯誤してください。
以下に解答を書きます。























想定解答.
まず \{ a_{n} \} が定義できることを示す. そのためには 0 \leqq a_{n} \leqq 6 であることを示せばよい. n = 1 のときは仮定より明らか. ある自然数 k に対して 0 \leqq a_{k} \leqq 6 が成り立つとき,

0 \leqq \sqrt{ 6 - a_{k} } \leqq \sqrt{6} \leqq \sqrt{ 36 } = 6

が成り立つ. したがって 0 \leqq a_{n} \leqq 6 が任意の自然数 n に対して成立することが示された.
次に \alpha = \sqrt{ 6 - \alpha } となる \alpha を求める. 辺々を二乗して整理すれば

\alpha^{2} = 6 - \alpha \iff \alpha^{2} + \alpha - 6 = 0 \iff (\alpha + 3) (\alpha - 2) = 0

となる. \alpha \geqq 0 なので \alpha = 2 である. 実際, このとき \alpha = \sqrt{ 6 - \alpha } を満たす.
さて

\displaystyle \begin{align} | a_{n + 1} - \alpha | &= | \sqrt{ 6 - a_{n} } - \sqrt{ 6 - \alpha } | \\ &= \left| \dfrac{ ( 6 - a_{n} ) - ( 6 - \alpha ) }{ \sqrt{ 6 - a_{n} } + \sqrt{ 6 - \alpha } } \right| \\ &\leqq \dfrac{ | a_{n} - \alpha | }{ \sqrt{ 6 - \alpha } } \\ &= \dfrac{ | a_{n} - \alpha | }{ 2 } \end{align}

が成立するので

| a_{n} - \alpha | \leqq \dfrac{ | a_{1} - \alpha | }{ 2^{n - 1} } = \dfrac{1}{ 2^{n - 2} }

となる. よって \{ a_{n} \} は n \to \infty で \alpha = 2 に収束する. □