【挑戦状】問19 想定解答. - ぷりんの雑記帳

今回は三角関数の問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問 19. 実数 α に対し, 次の2つは同値であることを示せ.
(a) sin(α), cos(α) はともに有理数である.
(b) 任意の自然数 n に対し, sin(nα), cos(nα) は有理数である.

想定解答は↓https://t.co/sbnPR7vL50
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月16日

うまく論理を組み立てて答案を作りましょう。
以下に想定解答を書きます。

想定解答.
(b) $\Rightarrow$ (a) は明らかである ( $n = 1$ の場合を考えればよい). (a) $\Rightarrow$ (b) を $n$ に関する数学的帰納法により示す.
(a) を仮定する. (b) の $n = 1$ の場合は (a) そのものであり, 仮定から成立する. 次に, ある自然数 $k$ に対し, (b) が $n = k$ のときに成立すると仮定する. 加法定理より

$\begin{align} \sin{(k + 1) \alpha} &= \sin{k \alpha} \cos{\alpha} + \cos{k \alpha} \sin{\alpha}, \\ \cos{(k + 1) \alpha} &= \cos{k \alpha} \cos{\alpha} - \sin{k \alpha} \sin{\alpha} \end{align}$

が成り立つ. 仮定から $\sin{k \alpha}$ , $\cos{k \alpha}$ , $\sin{\alpha}$ , $\cos{\alpha}$ はすべて有理数なので, $\sin{(k + 1) \alpha}$ , $\cos{(k + 1) \alpha}$ はともに有理数である. すなわち (b) が $n = k + 1$ のときに成立すると示された. したがって任意の自然数 $n$ に対して (b) が成立することが示された. □