【挑戦状】問20 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

よく分からない積分の値を比較する問題です。


実はこの問題は解けることを想定していないいわゆるクソ問です。
解いたという奇特な人がいたら教えてください。
以下に解答を書きます。




















想定解答.
0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{4} に対して

\dfrac{2 \sqrt{2}}{\pi} t \leqq \sin{t} \leqq t \quad (1)

が成立する. 二つ目の不等式はよく知られている. 一つ目の不等式は \sin{t} が 0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{4} で上に凸であることから従う. さて (1) から 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} に対して

\begin{align} \cos{x} - \left( 1 - \dfrac{x^{2}}{2} \right) &= \dfrac{x^{2}}{2} - 2 \sin^{2}{ \dfrac{x}{2} } \\ &= 2 \left( \dfrac{x}{2} + \sin{ \dfrac{x}{2} } \right) \left( \dfrac{x}{2} - \sin{ \dfrac{x}{2} } \right) \\ &\geqq 0 \end{align}

および

\begin{align} & \phantom{{}={}} \left( 1 - \dfrac{4 x^{2}}{\pi^{2}} \right) - \cos{x} \\ &= 2 \sin^{2}{ \dfrac{x}{2} } - \dfrac{4 x^{2}}{\pi^{2}} \\ &= 2 \left( \sin{ \dfrac{x}{2} } + \dfrac{ 2 \sqrt{2} }{\pi} \cdot \dfrac{ x }{ 2 } \right) \left( \sin{ \dfrac{x}{2} } - \dfrac{ 2 \sqrt{2} }{\pi} \cdot \dfrac{ x }{ 2 } \right) \\ &\geqq 0 \end{align}

が得られる. 今

\displaystyle C = \int_{0}^{\sqrt{ \pi/2 }} \cos{u^{2}} d u, \quad S = \int_{0}^{\sqrt{ \pi }} \sin{u^{2}} d u

とおく. \sqrt[4]{2} < \sqrt{ \dfrac{\pi}{2} } であることから

\begin{align} C &\geqq \int_{0}^{ \sqrt[4]{2} } \cos{ u^{2} } d u \\ &\geqq \int_{0}^{ \sqrt[4]{2} } \left( 1 - \dfrac{ u^{4} }{2} \right) d u \\ &= \left[ u - \dfrac{u^{5}}{10} \right]_{0}^{ \sqrt[4]{2} } = \dfrac{ 2^{9/4} }{5} \end{align}

である. また

\begin{align} \sin{u^{2}} &= \cos{ \left( \dfrac{\pi}{2} - u^{2} \right) } \\ &\leqq 1 - \dfrac{ 4 }{ \pi^{2} } \left( \dfrac{\pi}{2} - u^{2} \right)^{2} = \dfrac{ 4 u^{2} }{ \pi } \left( 1 - \dfrac{ u^{2} }{ \pi } \right) \end{align}

となることから

\begin{align} S &\leqq \int_{0}^{ \sqrt{\pi} } \dfrac{ 4 u^{2} }{ \pi } \left( 1 - \dfrac{ u^{2} }{ \pi } \right) d u \\ &= \left[ \dfrac{4 u^{3}}{3 \pi} - \dfrac{4 u^{5}}{5 \pi^{2}} \right]_{0}^{ \sqrt{\pi} } = \dfrac{ 8 \sqrt{\pi} }{ 15 } \end{align}

となる. 以上から

\dfrac{ C }{ S } \geqq \dfrac{ 2^{9/4} }{ 5 } \cdot \dfrac{ 15 }{ 8 \sqrt{\pi} } = \dfrac{ 3 }{ 2^{3/4} \sqrt{\pi} } = \sqrt[4]{ \dfrac{81}{ 8 \pi^{2} } } > \sqrt[4]{ \dfrac{81}{80} } > 1

が得られる. すなわち

\displaystyle C = \int_{0}^{ \sqrt{ \pi / 2 } } \cos{u^{2}} d u > \int_{0}^{ \sqrt{\pi} } \sin{u^{2}} d u = S

である. □