【挑戦状】問45 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

多項式の問題です。


とりあえず代入から始めてみるといいかもしれません。
以下に解答を書きます。























想定解答.
f(x) = a x^{2} + b x + c とおく. ただし a, b, c は実数であり, a \neq 0 である. 条件から c = f(0) なので, c は整数である. また

\displaystyle f(1) - f(- 1) = (a + b + c) - (a - b + c) = 2 b

は偶数なので, b は偶数である. さらに

\displaystyle f(1) + f(- 1) = (a + b + c) + (a - b + c) = 2 (a + c)

は偶数なので, a + c は整数であり, c が整数であることから a も整数である. □

別解.
f(x) = a x (x - 1) + b x + c とおく. ただし a, b, c は実数であり, a \neq 0 である. f(0) = c より c は偶数である. また f(1) = b + c より b + c は整数であり, c が整数であることから b も整数である. さらに f(2) = 2 a + 2 b + c は偶数であり, 2 b, c は共に偶数なので, 2 a は偶数である. よって a は整数である. 今,

\displaystyle f(x) = a x (x - 1) + b x + c = a x^{2} + ( - a + b) x + c

であり, a, - a + b, c はいずれも整数である. □