【挑戦状】問12 想定解答. - ぷりんの雑記帳

数列の問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問12. f(x)=e^x cos(x) とし, 自然数 n に対して f(x) の n 次導関数の x=0 の値を a_n とおく. a₁₁₄₅₁₄ を求めよ.

想定解答は↓https://t.co/1z0fO7dTsV
— すむーずぷりんちゃん🍮 (@mat_der_D) 2019年12月8日

この問題も実験が大事ですね。
以下に解答を書きます。

想定解答.
$f(x) = e^{x} \cos{x}$ を何度か微分すると
$\begin{align} f'(x) &= e^{x} (\cos{x} - \sin{x}) \\ f''(x) &= e^{x} ( - 2 \sin{x} ) \\ f'''(x) &= e^{x} ( - 2 \cos{x} - 2 \sin{x} ) \\ f^{(4)}(x) &= e^{x} ( - 4 \cos{x} ) = - 4 f(x) \\ \end{align}$
となるので,
$a_{1} = 1, \quad a_{2} = 0, \quad a_{3} = - 2, \quad a_{4} = - 4$
かつ
$a_{n + 4} = - 4 a_{n} \quad (n = 1, 2, \dots)$
である. したがって
$a_{114514} = a_{2 + 4 \times 28628} = 0 \times (- 4)^{28628} = 0$
である. □

別解.
$f(x) = \mathrm{Re}[ e^{(1 + i) x} ]$ ( $i$ は虚数単位) なので
$f^{(n)}(x) = \mathrm{Re}[ (1 + i)^{n} e^{ (1 + i) x } ]$
なので,
$a_{n} = \mathrm{Re} [ (1 + i)^{n} ] = \mathrm{Re} [ ( \sqrt{2} e^{ \frac{i \pi}{4} } ) ^{n}] = 2^{ \frac{n}{2} } \cos \dfrac{n \pi}{4}$
となる. よって
$\begin{align} a_{114514} &= 2^{ \frac{114514}{2} } \cos \dfrac{114514 \pi}{4} = 2^{ 57257 } \cos{ \dfrac{2 \pi}{4} } = 0 \end{align}$
である. □