【挑戦状】問17 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

図形と整数の複合問題です。


素数を絡めると簡単に整数問題が作れるのでいいですね。
以下に解答を書きます。
















想定解答.
斜辺の長さを z, 他の二辺の長さを x, y とおく. 三平方の定理より

x^{2} + y^{2} = z^{2}

である. z^{2} \equiv 0, 1 \pmod{4} なので, x, y の少なくとも一方は偶数である. x, y は対称なので, y が偶数と仮定してよい. さて

y^{2} = (z - x) (z + x)

であるが, y が偶数で, z - x, z + x の偶奇は一致するので, z - x, z + x は共に偶数である. さらに 0 < z - x < z + x なので

y^{2} \geqq 2 \cdot 4 = 8 > 4

となる. よって y > 2 である. すなわち y は 1 でも素数でもないので, y = 2 p ( p は素数) とおける. よって

4 p^{2} = (z - x) (z + x) \iff p^{2} = \dfrac{z - x}{2} \cdot \dfrac{z + x}{2}

となる. \dfrac{z - x}{2}, \dfrac{z + x}{2} は整数であり, 0 < \dfrac{z - x}{2} < \dfrac{z + x}{2} が成り立つので

\dfrac{z - x}{2} = 1, \quad \dfrac{z + x}{2} = p^{2}

が従う. p = 2 のときは (x, z) = (3, 5) となり, 条件を満たす. p \geqq 3 の場合を考える.

x = p^{2} - 1 = (p - 1) (p + 1)

となり, p - 1, p + 1 は共に偶数なので, x は 4 の倍数である. x は高々2つの素数の積で表されるので, x = 4 である. これは x = p^{2} - 1 \geqq 3^{2} - 1 = 8 に反する.
以上より条件を満たすのは, 各辺の長さが 3, 4, 5 となる三角形のみである. □