【挑戦状】問13 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

整数の問題です。


作った側としては簡単な感じがしますが、いかがでしょうか。
いつもの通り、解答を以下に書きます。















想定解答.
p + 2 q, q + 2 r, r + 2 p, p + q + r がすべて素数となるような素数の組 (p, q, r) が存在すると仮定する. p, q, r をそれぞれ 3 で割ったあまりが互いに異なるとすると, p + q + r は 3 の倍数であり, p + q + r が素数であることから p + q + r = 3 である. 一方 p, q, r はいずれも素数であることから p + q + r \geqq 2 + 2 + 2 = 6 であり, 矛盾する. よって p, q, r をそれぞれ 3 で割ったあまりのうち, いずれか 2 つは一致しなければならない.
p, q をそれぞれ 3 で割ったあまりが等しい場合, p + 2 q = p - q + 3 q より p + 2 q は 3 の倍数であり, p + 2 q は素数であることから p + 2 q = 3 である. 一方 p, q は素数であることから p + 2 q \geqq 2 + 2 \cdot 2 = 6 であり, 矛盾する. 同様に q, r をそれぞれ 3 で割ったあまりが一致する場合, r, p をそれぞれ 3 で割ったあまりが一致する場合も矛盾が導かれる. □