【挑戦状】問5 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

整数チックな方程式の問題です。


解をひとつ見つけること自体はさほど難しくないと思いますが、それ以外に無いことを示すというところがこの問題の肝です。
以下に解答を書きます。









想定解答. (メモ: \alpha = \sqrt[3]{2}, \beta = \sqrt{2})
\alpha^{x} = 1 + \beta^{y} \quad \cdots (*)
の辺々を 3 乗すると
2^{x} = (1 + 3 \cdot 2^{y}) + (3 + 2^{y}) \beta^{y}
\Leftrightarrow \beta^{y} = \dfrac{ 2^{x} - (1 + 3 \cdot 2^{y}) }{ 3 + 2^{y} }
となる. \beta^{y} は有理数なので, y が偶数であることが必要. \eta = \dfrac{y}{2} とおいて (*) に代入すると
\alpha^{x} = 1 + 2^{\eta}
となる. \alpha^{x} は有理数なので, x が 3 の倍数であることが必要. \xi = \dfrac{x}{3} とおく. 再び (*) に代入すると
2^{\xi} = 1 + 2^{\eta} > 1
となり, \xi \geqq 1 が必要. さらに
2^{\eta} = 2^{\xi} - 1 \geqq 1
となり, \eta \geqq 0 が必要. よって 2^{\xi}, 2^{\eta} はともに整数. 2^{\xi} が偶数であることと条件式から, 2^{\eta} は奇数, したがって \eta = 0 であることが分かる. これより直ちに \xi = 1 と分かる.
以上から (x, y) = (3, 0). □