【挑戦状】問37 想定解答. - ぷりんの雑記帳

整数と確率の複合問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問37. さいころを3回振り, 1回目に出た目を百の位, 2回目に出た目を十の位, 3回目に出た目を一の位とする3桁の自然数を N とおく. N が 37 の倍数である確率を求めよ.

想定解答は↓https://t.co/vt7Zhfv3aZ
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2020年1月3日

なるべく工夫して計算してみてください。
以下に解答を書きます。

想定解答.
$37$ の倍数のうち, $N$ としてありうるものの種類を数えればよい.
$666 = 37 \times 18$ なので, $666$ は $37$ の倍数である. $N$ のとりうる最大値は $666$ なので, $n = 1, 2, \dots, 18$ を用いて $37 n$ と表せる自然数のみ考えればよい. まず, $n$ が $3$ の倍数の場合は

$\begin{gather} 37 \times 3 = 111, \quad 37 \times 6 = 222, \quad 37 \times 9 = 333, \\ 37 \times 12 = 444, \quad 37 \times 15 = 555, \quad 37 \times 18 = 666 \end{gather}$

となっていずれも $N$ としてありうる. 次に $n$ が $3$ の倍数でない場合を考える. 一の位が $1, 2, 3, 4, 5, 6$ のいずれかになるのは, $n$ の一の位が $2, 3, 5, 6, 8, 9$ のときである. このようなものは $n = 2, 5, 8, 13, 16$ の $5$ 通りである. それぞれ

$\begin{align} 37 \times 2 &= 74, \\ 37 \times 5 &= 74 + 111 = 185, \\ 37 \times 8 &= 185 + 111 = 296, \\ 37 \times 13 &= 370 + 111 = 481, \\ 37 \times 16 &= 481 + 111 = 592 \end{align}$

となるが, いずれも $N$ の値とはなりえない.
以上から, 求める確率は $\dfrac{6}{6^{3}} = \dfrac{1}{36}$ . □