【挑戦状】問24 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

確率の問題です。


うまい方法を見つければ、大した計算は必要ありません。
以下に解答を書きます。





















想定解答.
n ( \geqq 2) 回目にさいころを投げたときに獲得する点数を X_{n} とおく. X_{n} は 0 または 1 の値をとる確率変数である. (n - 1) 回目にどの目がでた場合でも, n 回目に同じ目が出る確率は \dfrac{1}{6}, 異なる目が出る確率は \dfrac{5}{6} である. すなわち

X_{n} = \begin{cases} 1 & \left( \text{確率} \: \dfrac{1}{6} \right) \\ 0 & \left( \text{確率} \: \dfrac{5}{6} \right) \end{cases}

である. よって X_{n} の期待値は

\mathbb{E}[ X_{n} ] = 1 \cdot \dfrac{1}{6} + 0 \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}

である. さいころを N 回投げ終わった時点での点数を S とすると

\displaystyle S = \sum_{n = 2}^{N} X_{n}

となるので, 期待値は

\displaystyle \mathbb{E}[ S ] = \sum_{n = 2}^{N} \mathbb{E} [ X_{n} ] = \sum_{n = 2}^{N} \dfrac{1}{6} = \dfrac{ N - 1 }{ 6 }

である. □