【挑戦状】問30 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

今回は確率の問題です。


計算が煩雑になるかもしれませんが、頑張ってください。笑
以下に解答を書きます。























想定解答.
2回目以降に投げたさいころの出た目を a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} とおくと, S は

\displaystyle S = n + \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} + 1)

と表される. この期待値 \mathbb{E}[S] は

\displaystyle \begin{align} \mathbb{E}[ S ] &= \sum_{n = 1}^{6} \sum_{a_{1} = 1}^{6} \cdots \sum_{a_{n} = 1}^{6} \dfrac{1}{6^{n + 1}} \sum_{k = 1}^{n} (a_{k} + 1) \\ &= \sum_{n = 1}^{6} \dfrac{1}{6} \sum_{a_{1} = 1}^{6} \cdots \sum_{a_{n} = 1}^{6} \sum_{k = 1}^{n} \dfrac{a_{k} + 1}{6^{n}} \\ &= \sum_{n = 1}^{6} \dfrac{1}{6} \sum_{k = 1}^{n} \sum_{a_{1} = 1}^{6} \cdots \sum_{a_{n} = 1}^{6} \dfrac{a_{k} + 1}{6^{n}} \\ &= \sum_{n = 1}^{6} \dfrac{1}{6} \sum_{k = 1}^{n} \sum_{a_{k} = 1}^{6} \dfrac{a_{k} + 1}{6} \\ &= \sum_{n = 1}^{6} \dfrac{1}{6} \sum_{k = 1}^{n} \dfrac{9}{2} \\ &= \sum_{n = 1}^{6} \dfrac{3 n}{4} \\ &= \dfrac{63}{4} \end{align}

となる. □