【挑戦状】問29 想定解答. - ぷりんの雑記帳

今回は立方体の問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問29. 一辺の長さが 1 の立方体 ABCD-EFGH がある. この立方体の面, 辺, 頂点のみを通って点 A から点 G へ至る経路を考えるとき, その長さの最小値は √5 であることを示せ.

想定解答は↓https://t.co/RCb79Rrqfm
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月26日

自分の解法がベストかどうか分からないので、「別解を思いついたよ」という方がいらっしゃればコメント等をお願いします。
以下に解答を書きます。

想定解答.
点 $\mathrm{A}$ から点 $\mathrm{G}$ へ至る経路を考えると, 途中で必ず辺 $\mathrm{BC}$ , $\mathrm{CD}$ , $\mathrm{DH}$ , $\mathrm{HE}$ , $\mathrm{EF}$ , $\mathrm{FB}$ (両端を含む) のいずれかを少なくとも 1 回通過する (下図赤線) . そこで, 経路と交わる点のひとつを $\mathrm{P}$ とおく. 立方体の対称性より, 点 $\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{BC}$ 上にあるとして一般性を失わない.

点 $\mathrm{A}$ から点 $\mathrm{P}$ へ至る最短経路は線分 $\mathrm{AP}$ であり, 点 $\mathrm{P}$ から点 $\mathrm{G}$ へ至る最短経路は線分 $\mathrm{PG}$ である. よって点 $\mathrm{A}$ から点 $\mathrm{G}$ へ至る経路であって, 途中で点 $\mathrm{P}$ を経由する経路の長さは, $\mathrm{AP} + \mathrm{PG}$ 以上である. 今, 面 $\mathrm{ABCD}$ と面 $\mathrm{BCGF}$ が辺 $\mathrm{BC}$ で接するような展開図を考えると, 点 $\mathrm{P}$ が辺 $\mathrm{BC}$ 上を動くとき, $\mathrm{AP} + \mathrm{PG}$ が最小となるのは, 点 $\mathrm{P}$ が展開図上で線分 $\mathrm{AG}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の交点となるとき, すなわち辺 $\mathrm{BC}$ の中点となるときである. このとき $\mathrm{AP} + \mathrm{PG} = \sqrt{5}$ である.
以上により, 点 $\mathrm{A}$ から点 $\mathrm{G}$ へ至る経路の長さの最小値が $\sqrt{5}$ であることが示された. □