【挑戦状】問33 想定解答. - ぷりんの雑記帳

今回は平面図形の問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問33. 一辺の長さが 1 の正方形の内部または周上にある異なる 2 点を取るとき, 2 点間の距離の最大値を求めよ.

想定解答は↓https://t.co/w5OhF5IEXu
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月30日

様々な議論の仕方があるかと思います。この記事では自分が思いついた方法を紹介します。
以下に解答を書きます。

想定解答.
正方形のすべての頂点を通る円を $\mathrm{O}$ とする. 円 $\mathrm{O}$ の直径の長さは $\sqrt{2}$ である. 円 $\mathrm{O}$ の内部または周上にある異なる $2$ 点の間の距離は $\sqrt{2}$ 以下であることを示す.
円 $\mathrm{O}$ の内部または周上にある異なる $2$ 点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ を取る. 直線 $\mathrm{AB}$ は円 $\mathrm{O}$ の周と異なる $2$ 点で交わる. これらを $\mathrm{A'}, \mathrm{B'}$ とおくと, $\mathrm{AB} \leqq \mathrm{A'B'}$ が成り立つ. 線分 $\mathrm{A'B'}$ が円 $\mathrm{O}$ の直径のときは, $\mathrm{A'B'} = \sqrt{2}$ である. 線分 $\mathrm{A'B'}$ が円 $\mathrm{O}$ の直径でないならば, $\mathrm{A'}$ を通る直径を $\mathrm{A'C'}$ とすれば, 三角形 $\mathrm{A'B'C'}$ は $\angle \mathrm{A'B'C'} = 90^{\circ}$ の直角三角形となる. 三平方の定理より

$\displaystyle \mathrm{A'B'} = \sqrt{ \mathrm{A'C'}^{2} - \mathrm{B'C'}^{2} } < \mathrm{A'C'} = \sqrt{2}$

が従う. 以上から $\mathrm{AB} \leqq \mathrm{A'B'} \leqq \sqrt{2}$ である.
さて, 正方形の内部または周上にある異なる $2$ 点を取ると, これは円 $\mathrm{O}$ の内部または周上にある. よって先程示したことにより, この $2$ 点間の距離は $\sqrt{2}$ 以下である. 今, $2$ 点が対角線の両端となるように取れば, $2$ 点間の距離は $\sqrt{2}$ になる. すなわち, $2$ 点間の距離の最大値は $\sqrt{2}$ である. □