【挑戦状】問32. 想定解答 - ぷりんの雑記帳

無限級数の問題です。

問32. 無限級数
Σ[n=1〜∞] sin(π/n)
は発散することを示せ.

想定回答は後ほど。
— すむーずぷりんちゃん🍮【挑戦状】は固定ツイート (@mat_der_D) 2019年12月29日

$n$ が大きいところでどういう振る舞いをするかを考えれば、自ずと解法が見えてくるかと思います。
以下に解答を書きます。

想定解答.
$\sin{\pi} = 0$ なので, $n \geqq 2$ の範囲での和を考えれば十分である. $f(x) = \sin{ \dfrac{\pi}{x} }$ ( $x \geqq 2$ ) とおく.

$\displaystyle f'(x) = - \dfrac{\pi}{x^{2}} \cdot \cos{ \dfrac{\pi}{x} } \leqq 0$

なので, $f(x)$ は単調減少である. したがって $n \geqq 2$ に対して

$\displaystyle \sin{ \dfrac{\pi}{n} } = f(n) \geqq \int_{n}^{n + 1} f(x) d x \quad (\star)$

が成り立つ. $0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}$ のとき $\sin{t} \geqq \dfrac{2 t}{\pi}$ が成り立つことから $f(x) \geqq \dfrac{2}{x}$ なので, $(\star)$ より

$\displaystyle \sin{ \dfrac{\pi}{n} } \geqq \int_{n}^{n + 1} \dfrac{2}{x} d x = 2 \left\{ \log(n + 1) - \log{n} \right\}$

となる. したがって $N \geqq 2$ に対して

$\displaystyle \begin{align} \sum_{n = 2}^{N} \sin{ \dfrac{\pi}{n} } &\geqq \sum_{n = 2}^{N} 2 \left\{ \log(n + 1) - \log{n} \right\} \\ &= 2 \left\{ \log{(N + 1)} - \log{2} \right\} \end{align}$

が成り立つので

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \sin{ \dfrac{\pi}{n} } = \infty$

である. □