【挑戦状】問43 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

図形の問題です。


例えば正三角形なら、 O を重心とすれば、 θ=2π/3 で条件を満たします。一般にはどうでしょうか？
以下に解答を書きます。























想定解答.
n 角形の頂点のうち \mathrm{O} と異なるものをひとつ選び, \mathrm{P}_{0} とおく. \mathrm{O} を中心として \mathrm{P}_{0} を角度 \theta だけ回転させた点を \mathrm{P}_{1} とし, 同様に \mathrm{P}_{1} を \theta だけ回転させた点を \mathrm{P}_{2} とする. 以下同様にして \mathrm{P}_{3}, \dots, \mathrm{P}_{n} を定める. 問の条件から n + 1 個の点 \mathrm{P}_{0}, \dots, \mathrm{P}_{n} はいずれも n 角形の頂点なので*1, 鳩の巣原理よりある i, j (0 \leqq i < j \leqq n) が存在して, \mathrm{P}_{i} と \mathrm{P}_{j} は一致する. したがって j \theta - i \theta は 2 \pi の自然数倍である. この自然数を m とおけば

\displaystyle j \theta - i \theta = 2 \pi m \iff \dfrac{\theta}{\pi} = \dfrac{2 m}{j - i}

となる. すなわち \dfrac{\theta}{\pi} は有理数である. □

*1:細かすぎる注意：この事実の証明のために「 \mathrm{P}_{k} が n 角形の頂点 \Rightarrow \mathrm{P}_{k+1} が n 角形の頂点」を用いるが, これは \angle \mathrm{P}_{k} の大きさがちょうど \pi のときは成り立たない. 角度が \pi でないような頂点はかならず存在するので, 予め \angle \mathrm{P}_{0} \neq \pi となるような \mathrm{P}_{0} を取っておけばよい. そうすれば \angle \mathrm{P}_{k} \neq \pi ならば \angle \mathrm{P}_{k+1} = \angle \mathrm{P}_{k} \neq \pi となり, 帰納的に \mathrm{P}_{0}, \dots, \mathrm{P}_{n} が頂点であることが示される.