【挑戦状】問31 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

今回は整数の問題です。


フォロワーさんのつぶやきを見て作問しました。思い付きにしてはいい問題かなと思っています。
以下に解答を書きます。




















想定解答.
自然数 N \geqq 5 に対して

X = 3 N^{2} + 3 N + 4 = 3 N (N + 1) + 4

とおく. N, N + 1 の少なくとも一方は偶数であり, 4 は偶数なので, X も偶数である. X が平方数ならば, X は 4 の倍数である. よって 3 N(N + 1) も 4 の倍数なので, N または N + 1 は 4 の倍数である必要がある. そのような N を列挙すると

N = 7, 8, 11, 12, 15, 16, \dots

となる. N = 7 のときは (十進法で)

X = 3 \cdot 7 \cdot 8 + 4 = 4 \cdot (3 \cdot 7 \cdot 2 + 1) = 4 \cdot 43

となり, X は平方数でない. N = 8 のときは (十進法で)

X = 3 \cdot 8 \cdot 9 + 4 = 4 \cdot (3 \cdot 2 \cdot 9 + 1) = 4 \cdot 55

となり, X は平方数でない. N = 11 のときは (十進法で)

X = 3 \cdot 11 \cdot 12 + 4 = 4 \cdot (3 \cdot 11 \cdot 3 + 1) = 4 \cdot 100 = 20^{2}

となり, X は平方数となる.
以上から, N 進法で 334 が平方数となるような自然数 N \geqq 5 は存在する. □

ちなみに, N = 11 以外では N = 63, 160, 884, 2235, 12319, 31136, \dots が条件を満たします。