【挑戦状】問34 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

今回は整数の問題です。


2019年も最後ということで、2019に関係する問題を作りました。来年もよろしくお願いします。
以下に解答を書きます。






















想定解答.
奇数個の自然数の和で表される場合と偶数個の自然数の和で表される場合に分けて考える.
(i) 奇数個の自然数の和で表される場合
2 n + 1 個の和で表されるとき, ある自然数 k を用いて

\displaystyle \begin{align} &\phantom{{}={}} 2019 \\ &= (k - n) + (k - n + 1) + \dots + (k + n - 1) + (k + n) \\ &= (2 n + 1) k \end{align}

と表される. 2019 の約数は 1, 3, 673, 2019 であることから, この等式を満たす n, k の組は

\displaystyle (n, k) = (0, 2019), (1, 673), (336, 3), (1009, 1)

である. さらに k - n が自然数であることから k - n \geqq 1 なので, 条件を満たすのは

\displaystyle (n, k) = (0, 2019), (1, 673)

である. それぞれ

\displaystyle \begin{align} 2019 &= 2019 \\ &= 672 + 673 + 674 \end{align}

に対応する.
(ii) 偶数個の自然数の和で表される場合
2 n 個の和で表されるとき, ある自然数 k を用いて

\begin{align} &\phantom{{}={}} 2019 \\ &= (k - n) + (k - n + 1) + \dots + (k - n - 1) \\ &= n (2 k - 1) \end{align}

と表される. 2019 の約数は 1, 3, 673, 2019 であることから, この等式を満たす n, k の組は

\displaystyle (n, k) = (1, 1010), (3, 337), (673, 2), (2019, 1)

である. さらに k - n が自然数であることから k - n \geqq 1 なので, 条件を満たすのは

\displaystyle (n, k) = (1, 1010), (3, 337)

である. それぞれ

\displaystyle \begin{align} 2019 &= 1009 + 1010 \\ &= 334 + 335 + 336 + 337 + 338 + 339 \end{align}

に対応する.
以上より, 4 通りである. □