【挑戦状】問8 想定解答. - ぷりんの雑記帳

河野太郎コインの問題です。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問8. 表に「河」, 裏に「太」と書かれたコイン A と, 表に「野」, 裏に「郎」と書かれたコイン B がある. これらのコインを同時に n 回投げ, 上面に書かれた文字を ABAB… の順に左から書いていったとき, 最後の4文字で初めて「河野太郎」と書く確率を求めよ.
— すむーずぷりんちゃん🍮 (@mat_der_D) 2019年12月4日

問題文はネタっぽいですが、問題自体はふつうに確率の問題です。
問題の設定が分かりにくいという指摘があったので補足すると、「コインを $2$ 枚同時に投げて、出た文字を適切な順序で記録する」という操作を $n$ 回繰り返す、ということです。
以下に解答を書きます。

想定解答.
$n$ 回投げた時点で, まだ一度も「河野太郎」が出てきておらず, かつ最後の2文字が「河野」である確率を $p_{n}$ , まだ一度も「河野太郎」が出てきておらず, かつ最後の2文字が「河野」以外である確率を $q_{n}$ とする. このとき $n \geqq 1$ に対して漸化式
$p_{n + 1} = \dfrac{1}{4} p_{n} + \dfrac{1}{4} q_{n}, \quad q_{n + 1} = \dfrac{2}{4} p_{n} + \dfrac{3}{4} q_{n}$
が成り立つ. ここで $p_{0} = 0$ , $q_{0} = 1$ とおけば, $n = 0$ でも漸化式が成り立つとしてよい. 第一式から $q_{n} = 4 p_{n + 1} - p_{n}$ となるので, これを第二式に代入すれば
$4 p_{n + 2} - p_{n + 1} = \dfrac{1}{2} p_{n} + \dfrac{3}{4} (4 p_{n + 1} - p_{n})$
$\Leftrightarrow 16 p_{n + 2} - 16 p_{n + 1} + p_{n} = 0$
を得る. この三項間漸化式の特性方程式を解くと
$16 t^{2} - 16 t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{2 \pm \sqrt{3}}{4}$
となるので, $p_{n}$ の一般項はある定数 $A, B$ を用いて
$p_{n} = A \left( \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4} \right)^{n} + B \left( \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4} \right)^{n}$
と表される. $p_{0} = 0$ より
$A + B = 0$
となる. さらに $p_{1} = \dfrac{1}{4}$ より
$A \cdot \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4} + B \cdot \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4} = \dfrac{1}{4}$
となる. これらを満たすのは
$A = - B = \dfrac{ \sqrt{3} }{6}$
であり, $p_{n}$ の一般項は
$p_{n} = \dfrac{\sqrt{3}}{6} \left\{ \left( \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4} \right)^{n} - \left( \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4} \right)^{n} \right\}$
で与えられる. さて, 求める確率は $n = 0, 1$ のときは $0$ であり, $n \geqq 2$ のときは
$\dfrac{ p_{n - 1} }{4} = \dfrac{ \sqrt{3} }{24} \left\{ \left( \dfrac{2 + \sqrt{3}}{4} \right)^{n - 1} - \left( \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4} \right)^{n - 1} \right\}$
である. □