【挑戦状】問2 想定解答.

すむーずぷりんからの挑戦状

積分の絡んだ問題です。

 絶対値記号がついていて一瞬面食らうかもしれません。実は被積分関数をうまく変形することで、積分を実行できます。
以下に解答を書きます。

 

 

 

 

 

 

想定解答.

和積の公式を用いると
\sin{x} - \sin{(x - a)} = 2 \sin{ \dfrac{a}{2} } \cos{ \left( x - \dfrac{a}{2} \right) }
となるので,
\displaystyle \int_{0}^{\pi} | \sin{x} - \sin{(x - a)} | d x
\displaystyle = 2 \left| \sin{\dfrac{a}{2}} \right| \int_{0}^{\pi} \left| \cos{\left( x - \dfrac{a}{2} \right)} \right| d x
となる. ここで \left| \cos{\left( x - \dfrac{a}{2} \right)} \right| が周期 \pi の周期関数であることから
\displaystyle \int_{0}^{\pi} \left| \cos{ \left( x - \dfrac{a}{2} \right) } \right| d x
= \displaystyle \int_{- \frac{\pi}{2} + \frac{a}{2}}^{\frac{\pi}{2} + \frac{a}{2}} \left| \cos{ \left( x - \dfrac{a}{2} \right) } \right| d x
= \displaystyle \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{t} \, d t \quad \left( t := x - \dfrac{a}{2} \right)
= 2
となる. 以上から
\displaystyle \int_{0}^{\pi} \left| \sin{x} - \sin{(x - a)} \right| d x = 4 \left| \sin{ \dfrac{a}{2} } \right|
となるので, 取りうる値の範囲は 0 以上 4 以下である. □