【挑戦状】問1 想定解答. - ぷりんの雑記帳

練習がてら, 既に twitter 上で解答を公開した挑戦状の解答を書きます。

【すむーずぷりんからの挑戦状】
問1. コイン7枚とさいころ1個を同時に投げたとき, 表のコインの枚数がさいころの目よりも大きい確率を求めよ.
— すむーずぷりんちゃん🍮 (@mat_der_D) 2019年11月27日

シンプルな設定の確率の問題です。深く考えずに頑張って計算することも可能ですが、うまく工夫すれば劇的に計算量を減らすことができます。
以下に解答例を書き記します。

想定解答.
「表のコインの枚数 > さいころの目」となる確率と「表のコインの枚数 < さいころの目」となる確率は等しい. これは表コイン $a$ 枚とさいころの目が $b$ という事象と, 表コイン $(7-a)$ 枚とさいころの目が $(7-b)$ という事象を1対1に対応させれば分かる. よって「表コインの枚数 = さいころの目」の確率を $p$ として $\dfrac{1 - p}{2}$ が求める確率.
表のコインの枚数が $1 \sim 6$ 枚となる確率は $\dfrac{2^{7} - 2}{2^{7}} = \dfrac{63}{64}$ であり, 枚数と同じさいころの目が出る確率は枚数によらず $\dfrac{1}{6}$ なので, $p = \dfrac{63}{64} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{21}{128}$ と分かる.
結局, 求めるべき確率は $\dfrac{1 - \frac{21}{128}}{2} = \dfrac{107}{256}$ である. □